Компланарные вектора

Из курса геометрии известно, что прямая параллельна плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек или лежит на ней.

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) назовем параллельным плоскости, если прямая АВ параллельна этой плоскости. Нулевой вектор считается параллельным любой плоскости.

Векторы a1, a2, ..., an называются компланарными, если каждый из них параллелен одной и той же плоскости.

Любые два вектора всегда компланарны.

Очевидно, если три вектора компланарны, то их можно изобразить направленными отрезками, лежащими в одной плоскости.

Рассмотрим сложение трех некомпланарных векторов по так называемому «правилу параллелепипеда».

Пусть векторы а, b и с некомпланарны (рис. 28).

От произвольной точки О отложим векторы \(\overrightarrow{OA}\) = а, \(\overrightarrow{OB}\) = b и \(\overrightarrow{OC}\) = с и построим параллелепипед, для которого [ОА], [ОВ] и [ОС] являются ребрами. Пусть [ОМ]-диагональ этого параллелепипеда. Так как

\(\overrightarrow{OB}\) = \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{OC}\) = \(\overrightarrow{DM}\),

то

\(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{OB}\) + \(\overrightarrow{OC}\)
= \(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{AD}\) + \(\overrightarrow{DM}\) = \(\overrightarrow{OM}\),

т. е. а + b + с = \(\overrightarrow{OM}\).

Итак, сумма трех некомпланарных векторов равна вектору, изображаемому направленной диагональю параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Задача. Привести примеры ребер треугольной пирамиды ABCD изображающих: а) два коллинеарных вектора; б) три компланарных вектора; в) три некомпланарных вектора.


Рассмотрим изображение пирамиды (рис. 29). Используя определения коллинеарных и компланарных векторов, получим:

а) никакие два различных ребра пирамиды не могут изображать коллинеарные векторы, так как среди них нет взаимно параллельных;

б) ребра АС, СВ, ВА (или ребра AD, DC и АС) изображают три компланарных вектора (например, векторы \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\));

в) ребра DA, DC и DB изображают три некомпланарных вектора (например, векторы \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{DB}\)).



Другие материалы по теме: Векторы

  • Умножение вектора на число
  • Векторы. Основные понятия
  • Сложение и вычитание векторов
  • Коллинеарные вектора
  • Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
  • Проекция вектора на ось. Два свойства проекции
  • Свойства скалярного произведения векторов
  • Формула угла между векторами
  • Смешанное произведение трех векторов и его свойства