В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через середины двух смежных сторон основания и середину оси, другое делит ось в отношении 1:3. Зная, что площадь первого сечения равна S, найти площадь второго

Пусть NQN1Q1 и LML2M2 - параллельные сечения призмы, а - длина диагонали АС основания, H - длина отрезка KK1.


Тогда площадь первого сечения равна

S = H/2 (a + a/2) = 3/4Ha

Площадь второго сечения будет

S' = 1/2 PT (A2C2 + LM) + 1/2 P1T(A2C2 + L1M1).

Но

A2C2 = a, LM = a/4 , L1M1= 3/4а, РТ= 3/4Н, P1T = 1/4H,

что легко усматривается из подобия соответствующих треугольников. В силу этого получаем:

S' = 11/16 aH

и, следовательно,

S' = 11/12 S

Замечание. Эта задача может быть весьма просто решена другим путем, если принять во внимание формулу

Sпр. = S cosφ, (1)

где S - площадь некоторого многоугольника, расположенного в плоскости Р, Sпр. - площадь проекции этого многоугольника на плоскость Q, φ - угол между плоскостями Р и Q.


Согласно формуле (1) площади рассматриваемых в задаче параллельных сечений относятся как площади их проекций. И наша задача сводится к нахождению площадей двух фигур: L'1M'1CMLA и N'1Q'1CQNA (буквы со штрихами обозначают проекции соответствующих точек на основание призмы).





Похожие примеры: