Используя формулу для тангенса суммы двух углов, получаем:

$$ tg(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{tg\frac{\pi}{4}+tgx}{1-tg\frac{\pi}{4}\cdot tgx} = \frac{1+tgx}{1-tgx} $$

Поэтому данное уравнение можно переписать в виде:

$$ tgx + \frac{1+tgx}{1-tgx} = -2 $$

Обозначив tg x через у, мы приходим к алгебраическому уравнению

$$ y + \frac{1+y}{1-y}= -2 $$

или

y (1-y) + 1+ y = -2(1-у),

откуда

y = \(\pm \sqrt3 \).

Итак, либо tg x = \( \sqrt3 \) и тогда х = ^π/₃+ nπ, либо tg x = -\(\sqrt3\) и тогда х = -^π/₃+ kπ, где n и k - любые целые числа. Обе эти группы решений можно представить одной формулой х = ± ^π/₃+ nπ

Ответ. х = ± ^π/₃+ nπ