Каждая вершина параллелограмма соединена с серединами двух противоположных сторон. Какую часть площади параллелограмма составляет площадь фигуры, ограниченной проведенными линиями?

Параллелограмм составлен из 8 треугольников, равновеликих треугольникуАОE. Фигура (восьмиугольник), полученная путем указанного построения, также составлена из 8 треугольников, равновеликих \(\Delta\)POQ (рис.).


Так как ОР = 1/3ОА (по свойству медиан в \(\Delta\)DAE) и OQ = 1/2 ОE, то

SPOQ = 1/6 SAOE

Следовательно, искомое отношение равно 1/6.





Похожие примеры:
Два треугольника ABC и А1В1С1 расположены симметрично друг другу относительно центра их общего вписанного круга радиуса r . Доказать, что произведение площадей ABC, А1В1С1 и шести треугольников, получившихся при пересечении сторон \(\Delta\)ABC и \(\Delta\)А1В1С1, равно r 16.  Смотреть решение→
Доказать, что прямые, соединяющие последовательно центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма и примыкающих к нему извне, образуют также квадрат. Смотреть решение→
Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков высот, заключенных между каждой из вершин и точкой пересечения высот, представляют собой девять точек, лежащих на одной окружности. Показать, что центр этой окружности лежит на середине отрезка, соединяющего точку пересечения высот данного треугольника с центром описанного круга, а радиус равен половине радиуса описанного круга.  Смотреть решение→