Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

Теорема. Во всяком параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

Так, грани (рис.) BB1С1С и AA1D1D параллельны, потому, что две пересекающиеся прямые BB1 и B1С1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым AA1 и A1D1 другой. Эти грани и равны, так как B1С1=A1D1, B1B=A1A (как противоположные стороны параллелограммов) и ∠BB1С1 = ∠AA1D1.

Теорема. Во всяком параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Возьмем (рис.) в параллелепипеде какие-нибудь две диагонали, например, AС1 и DB1, и проведем прямые AB1 и DС1.


Так как ребра AD и B1С1 соответственно равны и параллельны ребру BС, то они равны и параллельны между собой.

Вследствие этого фигура ADС1B1 есть параллелограмм, в котором С1A и DB1 - диагонали, а в параллелограмме диагонали пересекаются пополам.

Это доказательство можно повторить о каждых двух диагоналях.

Поэтому диагональ AC1 пересекается с BD1 пополам, диагональ BD1 с A1С пополам.

Таким образом, все диагонали пересекаются пополам и, следовательно, в одной точке.




Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Пусть (рис.) AC1 есть какая-нибудь диагональ прямоугольного параллелепипеда.


Проведя AC, получим два треугольника: AC1С и ACB. Оба они прямоугольные:


первый потому, что параллелепипед прямой, и следовательно, ребро СС1 перпендикулярно к основанию,

второй потому, что параллелепипед прямоугольный, значит в основании его лежит прямоугольник.

Из этих треугольников находим:

AC21 = AC2 + СС21 и AC2 = AB2 + BC2


Следовательно, AC21= AB2 + BC2 + СС21 = AB2 + AD2 + AA21



Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.