Многоугольники

Многоугольники

Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией, называется многоугольником.

Отрезки этой ломаной линии называются сторонами многоугольника. АВ, ВС, CD, DE, ЕА (рис. 1) — стороны многоугольника ABCDE. Сумма всех сторон многоугольника называется его периметром.

 Многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от любой своей стороны, неограниченно продолженной за обе вершины.

 Многоугольник MNPKO (рис. 1) не будет выпуклым, так как он расположен не по одну сторону прямой КР.

Мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.

Углы, составленные двумя соседними сторонами многоугольника, называются его внутренними углами, а вершины их — вершинами многоугольника.

Отрезок прямой, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется диагональю  многоугольника.

АС, AD — диагонали многоугольника (рис. 2).

Углы, смежные с внутренними углами многоугольника, называются внешними углами многоугольника (рис. 3).

В зависимости от числа углов (сторон) многоугольник называется треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т. д.

Два многоугольника называются равными, если их можно совместить наложением.




Вписанные и описанные многоугольники


Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в окружность, а окружность — описанной около многоугольника (рис).

Если все стороны многоугольника являются касательными к окружности, то многоугольник называется описанным около окружности, а окружность называется вписанной в многоугольник (рис).




Подобие многоугольников


Два одноимённых многоугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны многоугольников пропорциональны.

Одноимёнными называются многоугольники, имеющие одинаковое  число  сторон (углов).

Сходственными  называются стороны подобных многоугольников,  соединяющие вершины соответственно равных углов (рис).

Так, например, чтобы многоугольник ABCDE был подобен многоугольнику A’B’C’D’E’, необходимо, чтобы:  ∠A = ∠A’ ∠B = ∠B’ ∠С = ∠С’ ∠D = ∠D’  ∠Е = ∠Е’  и,  кроме того, AB/A’B’ = BC/B’C’ = CD/C’D’ = DE/D’E’ =  EA/E’A’.




Отношение периметров подобных многоугольников


Сначала рассмотрим свойство ряда равных отношений. Пусть имеем, например, отношения:  2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.

Найдем сумму  предыдущих  членов  этих  отношений, затем — сумму их последующих членов и найдём отношение полученных сумм, получим:

$$ \frac{2 + 4 + 6 + 8}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{20}{10} = 2 $$

То же самое мы получим, если возьмём ряд каких-нибудь других отношений, например: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15= 2/3 Найдем сумму предыдущих членов этих отношений и сумму последующих, а затем найдём отношение этих сумм, получим:

$$ \frac{2 + 4 + 5 + 8 + 10}{3 + 6 + 9 + 12 + 15} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3} $$

В том и другом случае сумма предыдущих членов ряда равных отношений относится к сумме последующих  членов этого же ряда, как предыдущий член любого из этих отношений относится к своему  последующему.

Мы вывели это свойство, рассмотрев ряд числовых примеров. Оно может быть выведено строго и в общем виде.

Теперь рассмотрим отношение периметров подобных многоугольников.

Пусть многоугольник ABCDE подобен  многоугольнику A’B’C’D’E’ (рис).

 Из подобия этих многоугольников следует, что

AB
/A’B’ = BC/B’C’ = CD/C’D’ = DE/D’E’ =  EA/E’A’

На основании выведенного нами свойства ряда равных отношений можем написать:  

Сумма предыдущих членов взятых нами отношений представляет собой периметр первого многоугольника (Р), а сумма последующих членов этих отношений представляет собой периметр второго многоугольника (Р’), значит, P/P’  = AB/A’B’ .

Следовательно, периметры подобных многоугольников относятся как их сходственные стороны.





Отношение площадей подобных многоугольников


Пусть ABCDE и A’B’C’D’E’ — подобные многоугольники (рис).

Известно, что ΔAВС ~ ΔA’В’С’  ΔACD ~ ΔA’C’D’ и ΔADE ~ ΔA’D’E’.

 Кроме того,

 ; 

Так как вторые отношения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то

Используя свойство ряда равных отношений получим:

, или

где S и S’ — площади данных подобных многоугольников.

Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать к такому виду:  S/S’  = (/A’В’ )2




Площадь произвольного многоугольника


Пусть требуется вычислить площадь произвольного четырёхугольника АВDС (рис).

Проведём в нём диагональ, например АD. Получим два треугольника АВD и АСD, площади которых вычислять умеем. Затем находим сумму площадей этих треугольников. Полученная сумма и будет выражать площадь данного четырёхугольника.

Если нужно вычислить площадь пятиугольника, то поступаем таким же образом: из одной какой-нибудь вершины проводим диагонали. Получим три треугольника, площади которых можем вычислить. Значит, можем найти и площадь данного пятиугольника. Так же поступаем при вычислении площади любого многоугольника.





Площадь проекции многоугольника


Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис.).

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.

Пусть ΔАВС проектируется на плоскость р. Рассмотрим два случая:

а) одна из сторон ΔАВС параллельна плоскости р;

б) ни одна из сторон ΔАВС не параллельна р.

Рассмотрим первый случай: пусть [АВ] || р.

Проведем через (АВ) плоскость р1 || р и спроектируем ортогонально ΔАВС на р1 и на р (рис.); получим ΔАВС1 и ΔА’В’С’ . 

По свойству проекции имеем ΔАВС1 (cong) ΔА’В’С’, и поэтому

SΔ ABC1 =  SΔ A’B’C’

Проведем [CD1] ⊥ [AB] и отрезок D1C1.  Тогда  [D1C1] ⊥ [AB], a \( \overbrace{CD_1C_1}\) = φ есть величина угла между плоскостью  ΔАВС и плоскостью р1. Поэтому

SΔ ABC1 = 1/2 | AB | • | C1D1 | = 1/2 | АВ | • | CD1 | • cos φ = SΔ ABC cos φ

и, следовательно, SΔ A’B’C’ = SΔ ABC cos φ.

Перейдем к рассмотрению второго случая. Проведем плоскость р1 || р через ту вершину  ΔАВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).  

Спроектируем ΔАВС на плоскости р1 и р (рис.); пусть его проекциями будут соответственно ΔАВ1С1 и ΔА’В’С’.

 Пусть (ВС) ∩ p1 = D. Тогда

SΔ A’B’C’ = SΔAB1C1 = SΔADC1 — SΔADB1 = ( SΔADC — SΔADB) cos φ = SΔ ABC cos φ