Проекция многоугольника на плоскость

Площадь проекции многоугольника


Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 164).

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.

Пусть \(\Delta\)АВС проектируется на плоскость р. Рассмотрим два случая:

а) одна из сторон \(\Delta\)АВС параллельна плоскости р;

б) ни одна из сторон \(\Delta\)АВС не параллельна р.

Рассмотрим первый случай: пусть [АВ] || р.

Проведем через (АВ) плоскость р1 || р и спроектируем ортогонально \(\Delta\)АВС на р1 и на р (рис. 165); получим \(\Delta\)АВС1 и \(\Delta\)А’В’С’.

По свойству проекции имеем \(\Delta\)АВС1 \(\cong\) \(\Delta\) А’В’С’, и поэтому

S\(\Delta\)ABC1 = S\(\Delta\)A’B’C’

Проведем [CD1] ⊥ [AB] и отрезок D1C1. Тогда [D1C1] ⊥ [AB], a \(\widehat{CD_{1}C_{1}}\) = φ есть величина угла между плоскостью \(\Delta\) АВС и плоскостью р1. Поэтому

S\(\Delta\) ABC1 = 1/2 |AB| • |C1D1| = 1/2 |АВ| • |CD1| • cos φ = S\(\Delta\)ABC cos φ

и, следовательно, S\(\Delta\)A’B’C’ = S\(\Delta\)ABC cos φ.


Перейдем к рассмотрению второго случая. Проведем плоскость р1 || р через ту вершину \(\Delta\)АВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).

Спроектируем \(\Delta\)АВС на плоскости р1 и р (рис. 166); пусть его проекциями будут соответственно \(\Delta\)АВ1С1 и \(\Delta\)А’В’С’.

Пусть (ВС) \( \cap \) p1 = D. Тогда

S\(\Delta\)A’B’C’ = S\(\Delta\)AB1C1 = S\(\Delta\)ADC1 - S\(\Delta\)ADB1 = (S\(\Delta\)ADC - S\(\Delta\)ADB) cos φ = S\(\Delta\)ABC cos φ



Задача. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом φ = 30° к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания призмы а = 6 см.

Изобразим сечение данной призмы (рис. 167). Так как призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, \(\Delta\)АВС есть проекция \(\Delta\)АDС, поэтому
$$ S_{\Delta ADC} = \frac{S_{\Delta ABC}}{cos\phi} = \frac{a\cdot a\sqrt3}{4cos\phi} $$
или
$$ S_{\Delta ADC} = \frac{6\cdot 6\cdot \sqrt3}{4\cdot\frac{\sqrt3}{2}} = 18 (см^2) $$

Другие материалы по теме: Многоугольники

  • Многоугольники
  • Свойства правильных многоугольников