Координаты точки в полярной системе координат

Еще один способ определения положения точки на плоскости при помощи чисел - полярная система координат.

Рассмотрим на плоскости ось l с единичным вектором е и началом отсчета О (рис. 42).

Пусть М произвольная точка плоскости, не совпадающая с точкой О. Тогда \(\overrightarrow{OM}\) - радиус-вектор точки М относительно точки О.

Пусть r - длина вектора \(\overrightarrow{OM}\), т. е. | \(\overrightarrow{OM}\) | = r, а φ - угол между осью l и радиус-вектором \(\overrightarrow{OM}\). Угол φ = \(\widehat{e;\overrightarrow{OM}}\) будем отсчитывать от оси l в положительном направлении, т. е. в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Числа r и φ называются полярными координатами точки М: r - полярный радиус, φ - полярный угол.

Ось l называется полярной осью, а точка О - полюсом.

Полярный радиус точки О принимается равным нулю, полярный угол точки О не определяется.

Если точка М имеет полярные координаты r и φ, то пишут М ( r ; φ). Например, точка К (рис. 43) имеет координаты r = 2, φ = 45°, т. е. K (2; 45°).

Очевидно, что положение точки на плоскости полностью определяется заданием ее полярных координат.

Если r > 0, а φ - произвольное число, то существует (и притом только одна) точка М такая, что

| \(\overrightarrow{OM}\) | = r и \(\widehat{e;\overrightarrow{OM}}\) = φ.

Если r = 0, то точка совпадает с полюсом.

Отметим, что полярный угол точки, не совпадающей с полюсом, определяется неоднозначно. Например, полярным углом для точки K (см. рис. 43) является не только угол φ = 45°, но и угол φ = 405° и, вообще, любой угол φ = 45° + 360°k, где k = 0, ±1, ±2 ... .

Полярный угол точки определяется с точностью до слагаемого, кратного 360°. Если r > 0, то пары чисел (r ; φ) и (r ; φ + 360°k), где k = 0, ±1, ±2 ..., определяют одну и ту же точку плоскости. Чтобы соответствие между точками плоскости (за исключением полюса) и их полярными координатами было взаимно однозначным на полярный угол φ накладывают ограничение 0 < φ < 360°.

Установим связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами одной и той же точки М плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат О, i, j (рис. 44).

Примем начало координат -точку О -за полюс, ось абсцисс - за полярную ось l. Тогда луч [О у) оси ординат направлен под углом 90° к оси l.

Очевидно, декартовы координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

х = r cos φ, y = r sin φ. (1)

Формулы (1) позволяют находить прямоугольные декартовы координаты точки по ее полярным координатам. Из формулы (1) получаем

х² + у² = r² cos² φ + r² sin² φ = r² ( cos² φ + sin² φ) = r²,

и, следовательно,

$$ r = \sqrt{x^2 + y^2} \;\;(2)$$

Если r =/= 0 ( М не совпадает с точкой О), то из (1) и (2) следует

$$ cos\phi = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \;\; sin\phi = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \;\;(3) $$

Формулы (2), (3) позволяют переходить от прямоугольных декартовых координат точки к ее полярным координатам.

Задача 1. Найти полярные координаты точки М (-1;\(\sqrt{3}\)).

По формуле (2) находим

$$ r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 $$

По формулам (3) имеем

cos φ = ^-1/₂ = - ¹/₂ , sin φ = ^√3/₂,

откуда φ = 120°. Итак, М (2; 120°).

Задача 2. Найти прямоугольные декартовы координаты точки М(4; 135°).

По формулам (1) имеем

х = 4 • cos135° = 4 • (- ^√style="text-decoration:overline;">²/₂) = - 2√2 ,

у = 4 • sin 135° = 4 • ^√style="text-decoration:overline;">²/₂ = 2√2 .

Итак, М (- 2√2 ; 2√2 ).