Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М так, что АМ = MD, СМ = МВ. Доказать, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности

Возьмем точку К – середину отрезка АВ и точку L – середину отрезка DC.

Проведем через точки К и L перпендикуляры соответственно к АВ и СD до пересечения в точке О. Перпендикуляр КО – геометрическое место точек, равно удаленных от концов отрезка АВ, LO – от концов CD, следовательно, ОА = ОВ и ОС = OD.

Остается сравнить длину отрезков OA и OD. AM = MD, CM = MB, отсюда AB = CD, а также их половины АК = DL = RB = LC. Вычитая из равных отрезков KB и LC равные отрезки МВ и МС, получаем КМ = LM. Значит, прямоугольные треугольники ОКМ и OLM равны по гипотенузе и катету, откуда ОК = ОL.

Тогда прямоугольные треугольники АОК и DOL тоже равны по двум катетам, откуда ОА = OD, т. е. точки А, В, С и D равно отстоят от одной точки и потому лежат на одной окружности.





Похожие примеры: