Доказать формулу \( sin x+sin2x+...+sin nx=\frac{sin\frac{nx}{2}sin\frac{(n+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}} \) Указание. Можно воспользоваться формулой Муавра

(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx

Первое решение. Рассмотрим сумму

S = (cos x + i sin x) + (cos 2x + i sin 2x) + ... + (cos nx + i sin nx)

и, пользуясь формулой Муавра, (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx , вычислим S как сумму геометрической прогрессии. Получим

$$ S=\frac{(cos x+i sin x)^{n+1} - (cos x+i sin x)}{cos x+i sin x - 1} $$

Сумма sin x + sin 2x + ...+ sin nx равна мнимой части S.

Второе решение. Умножив левую часть на 2 sin x/2 и применив формулу, получим

$$ (cos\frac{x}{2}-cos\frac{3}{2}x)+(cos\frac{3}{2}x-cos\frac{5}{2}x)+...+(cos\frac{2n-1}{2}x - cos\frac{2n+1}{2}x)=\\= cos\frac{x}{2}-cos\frac{2n+1}{2}x=2sin\frac{nx}{2}\cdot sin\frac{n+1}{2}x $$

откуда и следует нужная формула.





Похожие примеры: