Грани правильной усеченной треугольной пирамиды касаются шара. Определить отношение поверхности шара к полной поверхности пирамиды, если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом α.

Плоскость, делящая пополам двугранный угол при ребре A1A2 (рис.) усеченной пирамиды, проходит через высоту O1O2 и перпендикулярна к грани В1С1С2В2 (доказать!).

Аналогично для двух других боковых ребер. Поэтому центр шара, касающегося граней пирамиды, лежит на высоте (а именно, на середине высоты, так как шар касается и оснований), а точка К касания шара с гранью В1С1С2В2 лежит на апофеме D1D2 этой грани. Аналогично для других боковых граней. Имеем

(a1 = B1C1 и а2 = В2С2 - стороны оснований и l =D1D2- апофема боковой грани). Если r1 = O1D1 и r22D2 - радиусы кругов, вписанных в основания, то a1 = 2r13 и a2 = 2r23 . Поэтому

Sп. = 3 √3 (r12 + r22) + 3 √3 (r1 + r2) l

Как в задаче 555, найдем, что r1 + r2 = l и r12 + r22 = l2 - 2r2.

Тогда получим





Похожие примеры: