В прямоугольном параллелепипеде проведена плоскость через диагональ основания и диагональ большей боковой грани, выходящих из одной вершины. Угол между этими диагоналями равен β. Определить боковую поверхность параллелепипеда, площадь сечения и угол наклона сечения к плоскости основания, если известно, что радиус окружности, описанной около основания параллелепипеда, равен R и меньший угол между диагоналями основания равен 2α.

Основание ABCD - прямоугольник (рис.).

Для построения линейного угла двугранного угла D₁ACD проводим через ребро DD₁ плоскость, перпендикулярную к АС; в пересечении с гранями двугранного угла получим линейный угол ∠ D₁ED = φ

Имеем

Обозначим

AB = DC= a,

BC = AD = b (a > b), DD₁= H, D₁E = h, DE = h₁

В равнобедренном треугольнике АОВ сумма внутренних углов при основании АВ равна внешнему углу 2α, следовательно, ∠ ВАС = α. Из \(\Delta\)ABC находим

a = 2R cos α; b = 2R sin α.

Из \(\Delta\)DEC, где ∠ ACD = α, находим

h₁ = a sin α = 2R cos α sin α и ЕС = а cos α = 2R cos² α.

Из \(\Delta\)D₁EC находим

h = EC•tg β = 2R cos² α tg β.

Из \(\Delta\)D₁DE находим

H = √D₁E² - DE² = √h² - h₁² = √4R²cos⁴ α tg² β - 4R² sin²α cos² α =

= 2R cos² α √tg² β - tg²α

Выражение tg² β - tg²α преобразуем, как в задаче 467.