Доказать, что прямые, соединяющие последовательно центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма и примыкающих к нему извне, образуют также квадрат.

Построим (рис.) треугольники OEO1и OFO2 (точки В и F - середины сторон параллелограмма).

Эти треугольники равны. Действительно, OE = FC, а из условия следует, что FC = O2F. Следовательно, OE=O2F. Так же докажем, что O1E= OF.

Углы OEO1и OFO2 (оба они тупые) равны, так как их стороны взаимно перпендикулярны. Из равенства треугольников OEO1и OFO2 следует, что ОО1 = ОО2 и что ∠OO1E = ∠O2OF. А так как О1Е и OF образуют прямой угол, то и прямые ОО1 и ОО2 образуют прямой угол. Значит, треугольник О1О2О - равнобедренный и прямоугольный. Таковы же и треугольники O2O3O, O3O4O и O4O1O. Отсюда следует, что O1O2O3O4 есть квадрат.