Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что объем шара, описанного около пирамиды, равен V, а перпендикуляр, опущенный из центра шара на ее боковую грань, образует с высотой пирамиды угол α.

Пусть а - сторона основания пирамиды SABCD, h - высота пирамиды, r - радиус шара, описанного около пирамиды.

Тогда

V = ⁴/₃ πr³

и

r = (^3V/_4π) ^1/3

Если SE - диаметр описанного шара, то из прямоугольного треугольника SBE следует:

Так как, однако, из треугольника FO₁S имеем ^a/₂ = h ctg α, то, исключая а, находим: