В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Определить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания, зная, что отношение объема пирамиды к объему шара равно ^27√3 /_4π.

Обозначим через r радиус вписанного шара ичерез а длину отрезка ОЕ.

Тогда

r = а tg α,

где α - половина искомого угла. Следовательно, объем шара равен

V_ш. = ⁴/₃πа³ tg³ α

Так как DO = а tg 2α, a AB = 2√3 а, то объем пирамиды будет

V_пир.= ¹/₃DO^√3/₄ AB² = √3 а³ tg2α.

Так как по условию задачи

то, выражая tg 2α через tg α, получаем уравнение

tg² α( 1 - tg² α) = ²/₉

Отсюда (tg α)₁² = ¹/₃ и (tg α)₂² = ²/₃ .

Учитывая, что α - острый угол, находим:

α₁= ^π/₆

и