На сторонах треугольника ABC построены равносторонние треугольники ABC1, BCA1, CAB1, не перекрывающиеся с \(\Delta\)ABC. Доказать, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Пусть О — точка пересечения прямых AA1 и СС1.


Задача будет решена, если будет доказано, что

∠АОВ + ∠АОВ1 = 180°. (1)

Заметим, что \(\Delta\)С1ВС = \(\Delta\)ABA1, так как
С1B = АВ, ВС = ВА1 и ∠С1ВС = 60° + ∠AВС = ∠ABA1

Поэтому ∠ОС1В = ∠ОАВ и четырехугольник ОАС1В вписан в некоторую окружность. Следовательно, ∠АОВ = 120°. Аналогично покажем, что ∠BOC = 120°.

Но тогда и ∠AОС = 120°, откуда следует, что четырехугольник AOCB1 вписан в некоторую окружность. Но отсюда следует, что ∠AOB1 = ∠ACB1 = 60°. Поэтому (1) верно.





Похожие примеры: