Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг вершины О на 90°, причем вершина А перешла в А1, а вершина В — в В1. Доказать, что в треугольнике OAB1 медиана стороны AB1 является высотой для \(\Delta\)OA1В (аналогично медиана стороны А1В в \(\Delta\)OA1В является высотой для \(\Delta\)OAB1).

Пусть ОС — медиана в \(\Delta\)OAB1 . Пусть точка D лежит на продолжении ОС, причем ОС = CD.


Покажем, что \(\Delta\)AОD = \(\Delta\)ОА1В. Действительно, AO = OA1 по построению. Далее, AOB1D — параллелограмм, в силу чего AD = OB1 = OB. Наконец ∠OAD = ∠А1ОВ, так как стороны этих углов взаимно перпендикулярны: АО ⊥ OA1 и OB1 ⊥ OB по построению, a AD || OB1
Следовательно, \(\Delta\)AOD = \(\Delta\)ОA1В и две из сторон одного из них перпендикулярны, соответственно, двум сторонам другого. Поэтому третьи стороны также перпендикулярны, т. е. OD ⊥ A1B.





Похожие примеры: